第一篇：常用均值不等式及证明证明
常用均值不等式及证明证明
这四种平均数满足hn?gn?
an?qn
?、ana1、a2、
?r?，当且仅当a1?a2??
?an时取“=”号
仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用
均值不等式的变形：
(1)对实数a,b，有a
2
22
?b2?2ab (当且仅当a=b时取“=”号)， a,b?0?2ab
(4)对实数a,b，有
a?a-b??b?a-b?
a2?b2?
2ab?0
(5)对非负实数a,b，有
(8)对实数a,b,c，有
a2?
b2?c2?ab?bc?ac
a?b?c?abc(10)对实数a,b,c，有
均值不等式的证明：
方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序
不等式法、柯西不等式法等等
用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引理：设a≥0，b≥0，则?a?b??an?na?n-1?b
n
注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0
，a+b≥0 (用数学归纳法)。
当n=2时易证 ……此处隐藏2050个字……/p>
n
)?
所以原题目也证毕了
这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明jensen:
f(x1)?f(x2)
?f(
x1?x2
)，则四维：
f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)?2f(
x1?x2
)?2f(
x3?x4
)?4f(
x1?x2?x3?x4
)
一直进行n次有
f(x1)?f(x2)?...?f(x2n)
n
?f(
x1?x2?...?x2n
n
),
令x1?x1,...,xn?xn;xn?1?xn?2?...?x2?
n
x1?x2?...?xn
n
n
?a
有
f(x1)?...?f(xn)?(2?n)f(a)
n
n
?f(
na?(2?n)a
n
)?f(a)
所以得到
f(x1)?f(x2)?...?f(xn)
n
?f(
x1?x2?...?xn
n
)
所以基本上用jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明
而且有些时候这种归纳法比jensen的限制更少
其实从上面的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明
这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件
